Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Les annales du bac
Exercice 1 : Bac S 2015 : Analyse, étude de fonctions
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères \( OAD'D \), \( DD'C'C \) et \( OAB'B \) sont des rectangles.
Le plan de la face \( (OBD) \) est muni d'un repère \( (O, \ I, \ J) \).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 12 mètres, autrement dit, \(DD' = 12\), sa longueur \(OD\) est de 25 mètres.
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \) par : \[ f : x \mapsto 16 -3x + \left(2 + x\right)\operatorname{ln}\left(2 + x\right) \] On note \(f '\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \( \mathscr{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le repère \((O, I, J)\).
Calculer, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \), la valeur de \( f'(x) \).
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point \(B\).
Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \).
On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre,
on considère dans le repère \( (O, I, J) \) du plan de face, les points
\(B_{k} \left( 1k, f(1k) \right) \)
pour \(k\) variant de 0 à 25.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \( \mathscr{C} \) allant de
\( B_k \) à \( B_{k+1} \) par le segment \( \left[ B_k B_{k+1} \right] \).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des
aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure
ci-dessous).
Pour \(k\) variant de 0 à 24, exprimer en fonction de \(f(1k)\) et \(f(1\left(k + 1\right))\) la valeur de \(B_k B_{k+1}\).
Les questions suivantes visent à compléter cet algorithme.
Quelle expression doit compléter la boucle "Pour" ? (Ligne [A])
Exercice 2 : Bac S 2015 métropole - Exercice 3 (spécialité) - Matrices et probabilités
On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -7y + 11x = 1 \]
Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).
Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.
Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).
Une boîte contient 30 jetons, des rouges, des verts et des blancs.
Sur les 30 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et
\( y \) jetons verts.
Sachant que \( -7y + 11x = 1 \),
donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \)
le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche
à maximiser le nombre de jetons verts.
Dans la suite, on supposera qu'il y a 2 jetons rouges et 3 jetons verts.
On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 30, puis on le remet dans la boîte.
- Lorsqu'on est en A :
Le pion va en B si le jeton tiré est rouge. Il va en C si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc. - Lorsqu'on est en B :
Le pion va en A si le jeton tiré est rouge. Il va en C si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc. - Lorsqu'on est en C :
Le pion va en A si le jeton tiré est rouge. Il va en B si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.
Au départ, le pion est sur le sommet A.
Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).
On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,83 & 0,07 & 0,1\\0,07 & 0,83 & 0,1\\0,07 & 0,1 & 0,83\end{pmatrix} \).
Donner la matrice ligne \( X_{0} \).
Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).
On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8}\\- \dfrac{1}{7} & \dfrac{1}{7} & 0\\\dfrac{2}{7} & \dfrac{19}{56} & \dfrac{3}{8}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,73 & 0 & 0\\0 & 0,77 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).
À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.
Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).
Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).
On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]
On admet que \( \alpha_n = \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7} \times 23^{n} \times 30^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{19}{56} - \dfrac{5}{7}\left(\dfrac{23}{30}\right)^{n} + \dfrac{3}{8}\left(\dfrac{11}{15}\right)^{n} \).
On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni
ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).
Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).
Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et
\( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques
\( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).
Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?
Exercice 3 : Bac S 2018 métropole - Exercice 2 Probabilité virus de la grippe
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.
Partie A
L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des
personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus
qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :
- \( 41 \) % de la population est vaccinée.
- \( 9 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
- \( 23 \) % de la population a contracté la grippe.
On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :
- V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
- G : « la personne a contracté la grippe ».
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Partie B
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se
ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la
grippe est égale à \( 0,41 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au
nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
On interroge un échantillon de \( 3510 \) habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici
que \( n = 3510 \).
On note \( Y \) la variable aléatoire définie par : \( \dfrac{X - 1500}{32} \).
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire \( Y \) peut être approchée par la loi
normale centrée réduite.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Exercice 4 : Bac S 2014 métropole - Exercice 3 - Equation complexe
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme exponentielle.
Calculer \(a^{2}\) sous forme algébrique.
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
Exercice 5 : Bac S 2015 métropole - Exercice 1 - Lois exponentielles et normales
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre
\(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de la cette loi est la fonction \(f\)
définie sur \(\left[0;+\infty\right[\) par \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\).
Donner l'expression littérale de la valeur de \(P(c \leq X \leq d)\).